domingo, 15 de diciembre de 2013

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales esta formado por  n  incógnitas y m ecuaciones, todas ellas de primer grado. Un sistema puede tener una sola, infinitas o ninguna solución. Si tiene una sola solución, es un sistema compatible determinado (S.C.D); Si tiene infinitas soluciones, es un sistema compatible indeterminado (S.C.I); Y si no tiene ninguna solución, es un sistema incompatible (S.INC). ¿Como resolver los sistemas de ecuaciones lineales? En este post, se va explicar algunos elementos necesarios para discutir la compatibilidad de un sistema y en su caso resolverlo; que son: el rango de la matriz asociada, la ampliada y el número de incógnitas. 




Se va a explicar como se discute (y se resuelve) la compatibilidad de un sistema de 3 ecuaciones y de 3 incógnitas; Es el típico ejemplo que, a continuación, se va hacer paso a paso. El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) no nulas de la matriz equivalente o escalonadaPara discutir la compatibilidad de un sistema, se recurre a calcular el rango de las dos matrices (la matriz asociada y la ampliada) y determinar el nº de incognitas. Así, se va calcular los rangos del sistema siguiendo el siguiente esquema: 





-un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución (S.INC); las tres recta no tienen ningun punto en común; las tres rectas se cortan dos en dos; dos se cortan y la tercera secante a las dos; o son las tres paralelas entre sí:




-un sistema de ecuaciones lineales que tiene infinitas soluciones (S.C.I); las tres rectas son coincidentes:


-un sistema de ecuaciones lineales que tiene una sola solución (S.C.D); las tres rectas se cortan en un mismo punto:



Se va  hacer ejemplos para ver con más detalle, como se resuelve un sistema por varios métodos: por la matriz inversa, por Gauss, Gauss-Jordan, o por la regla de Cramer.

-método de la matriz inversa:




-método de Gauss.



-método de Gauss-Jordan:


-método de Cramer:
Discusión de un sistema de ecuaciones lineales según un parametro:
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