domingo, 19 de octubre de 2014

Recta y Plano en el Espacio

En esta entrada se va estudiar la recta y el plano en el espacio. Y sobre todo, se va estudiar, con detalle, la posición relativa de: dos rectas, dos planos, y por último, la posición relativa de una recta respecto a un plano. 

La recta en el espacio:

Hace falta un punto básico A(a,b,c) y un vector de dirección (o vector director) U=(u1,u2,u3) para dibujar y calcular la ecuación de una recta en el espacio. El punto X(x,y,z) es el punto genérico de la recta. Dos rectas pueden ser coincidentes (la misma recta) o paralelas (no tienen ningún punto en común). Dos rectas pueden cortarse en un punto (secantes) o cruzarse (sin cortarse, no tienen ningún punto en común).




recta en el espacio








Posición relativa de dos rectas en

el espacio: Es muy importante conocer la posición relativa de dos rectas en el espacio. Sea la recta r: con su vector director: U=(u1,u2,u3) y su punto P(a,b,c) y la recta s: con su vector director: V=(v1,v2,v3). Según el siguiente diagrama, se puede saber la posición relativa de dos rectas en el espacio (coincidentes, paralelas,  se cortan en un punto o 
se cruzan ).         


posición recta-recta

El plano en el espacio:

Hace falta un punto básico A(a,b,c) y dos vectores: U=(u1,u2,u3) y V=(v1,v2,v3) (contenidos en el plano), para dibujar y calcular la ecuación de un plano en el espacio. También, se puede calcular la ecuación de un plano, sabiendo un punto A(a,b,c) y un vector perpendicular al  plano n=(A,B,C), (vector normal), usando la ecuación general Ax+By+Cz+D=0. El punto X(x,y,z) es el punto genérico del plano. Dos planos pueden ser coincidentes (el mismo plano) o paralelos (no tienen ningún punto en común). Dos planos pueden ser secantes, se cortan en una recta (o haz de planos).

plano en el espacio











Posición relativa de dos planos en el espacio:

Sean los planos en el  espacio:
p1:Ax+By+Cz+D=0 
p2: A'x+B'y+C'z+D'=0.
-si A/A'=B/B'=C/C'=D/D', implica que los planos son coincidentes (mismo plano).
-si A/A'=B/B'=C/C'no=D/D', implica que los planos son paralelos (no tienen ningún punto en común).
-si A/Ano=B/B' o A/A'no=C/C' o B/B'no=C/C' implica los  planos son secantes (se cortan en una recta).




posición plano-plan

Posición relativa de la recta y el plano:

Sea el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la del espacio. M es la matriz, M' es la matriz ampliada del sistema. Y se estudia el rango. 
La recta esta formada por la intersección planos A1x+B1y+C1z+D1=0 y A2x+B2y+C2z+D2=0
y el plano Ax+By+Cz+D=0.
-si rang(M)=rang(M'), son coincidentes.
-si rang(M)=2, rang(M')=3, son paralelos.
-si rang(M)=rang(M)=3, son secantes.




















posición recta-plan


Estas son algunas anotaciones sobre la recta y el plano en el espacio.





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